2.4二次函数性质的再研究

2.4二次函数性质的再研究

一、二次函数的基础知识

1．二次函数

函数叫作二次函数．它的定义域是R．

如果b＝c＝0，则函数变为．我们知道，它的图像是一条顶点为原点的抛物线．

时，抛物线开口向上，时，抛物线开口向下．

2．二次函数的图像变换

(1)二次函数y＝ax²(a≠0)的图像可由y＝x²的图像横坐标不变，纵坐标伸长为原来的a倍得到；

(2)二次函数y＝a(x＋h)²＋k(a≠0)的图像可由y＝ax²的图像向左(h>0)(或向右(h<0))平移|h|个单位，再向上(k>0)(或向下(k<0)) 平移|k|个单位得到；

(3)二次函数y＝ax²＋bx＋c(a≠0)的图像，可把它先配方，再由y＝ax²的图像平移得到；

(4)函数y＝f(x＋a)的图像可由y＝f(x)的图像向左(a>0)(或向右(a<0))平移|a|个单位得到；

(5)函数y＝f(x)＋k的图像可由y＝f(x)的图像向上(k>0)(或向下(k<0))平移|k|个单位得到．

3．二次函数解析式的表示法

(1)一般式，形如y＝ax²＋bx＋c(a≠0)．

(2)顶点式，形如y＝a(x－h)²＋k(a≠0)．

(3)两根式，形如y＝a(x－x₁)(x－x₂)(a≠0)．

 

【例1】下列函数中，其图像开口最小的是(   )

A．f(x)＝3x²     B．f(x)＝2(1)x²＋x－1          C．f(x)＝－2(1)x²－x         D．f(x)＝－4x²＋1

【例2】已知一次函数y＝ax＋c与二次函数y＝ax²＋bx＋c (a≠0)，它们在同一坐标系中的大致图像是图中的(     )

 

【例3】二次函数y＝2(1)x²＋3x＋2(5)的图像是由函数y＝2(1)x²的图像先向______(左，右)平移________个单位，再向______(上、下)平移________个单位得到．

二、二次函数(y＝ax²＋bx＋c)的性质

学习研究二次函数的性质，必须熟练掌握二次函数的图像，结合图像研究性质

	函数	二次函数y＝ax2＋bx＋c＝a(x＋2a(b))2＋4a(4ac－b2) (a、b、c是常数，a≠0)．
	图像	a>0	a<0
性 质		①抛物线开口向上，并向上无限延伸.	①抛物线开口向下，并向下无限延伸．
		②对称轴是x＝－2a(b) ；顶点坐标是(－2a(b)，4a(4ac－b2))．
		③在区间(－∞，－2a(b)]上是减少的； 在区间[－2a(b)，＋∞)上是增加的.	③在区间(－∞，－2a(b)]上是增加的； 在区间[－2a(b)，＋∞)上是减少的．
		④抛物线有最低点， 当x＝－2a(b)时，y有最小值，ymin＝4a(4ac－b2).	④抛物线有最高点， 当x＝－2a(b)时，y有最大值，ymax＝4a(4ac－b2).

 

【例4】函数f(x)＝x²－4在区间[－2，－1]上的最大值是(   )

A．0 B．－3            C．3                    D．1

【例5】某电子产品的利润y(元)关于产量x(件)的函数解析式为y＝－3x²＋90x，要使利润获得最大值，则产量应为( )

A．10件           B．15件           C．20件         D．30件

【例6】函数y＝3x²－6x＋1，x∈[0,3]的最大值是________，最小值是________．

【例7】已知函数在区间[0,m]上有最大值3,最小值2，则实数m的取值范围是(    )

A. [1,+∞)         B. [1,2)             C. [1,2]              D. (－∞,2]

【例8】已知二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2－x)，又f(x)在[0,2]上是增加的,且f(a)≥f(0),那么实数a的取值范围是 .

 

【例9】已知函数f(x)＝x²＋2ax＋2，x∈[－5,5]．

(1)当a＝－1时，求函数的最大值和最小值；

(2)当a∈R时，求函数的最小值．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【例10】已知二次函数f(x)的最小值为1,且f(0)=f(2)=3.

(1)求f(x)的解析式;

(2)若f(x)在区间[a,a+2]上不单调,求实数a的取值范围;

(3)在区间上，y=f(x)的图像恒在y=2x+2m+1的图像上方,试确定实数m的取值范围.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

课后练习

1．已知抛物线经过点(－3,2)，顶点是(－2,3)，则抛物线的解析式是 (   )

A．y＝－x²－4x－1 B．y＝x²－4x－1

C．y＝x²＋4x－1 D．y＝－x²－4x＋1

2．将函数y＝x²图像上各点的纵坐标扩大为原来的2倍后，(横坐标不变)，所得图像对应的函数解析式为(    )

A．y＝2x²                  B．y＝4x²               C．y＝2(1)x²             D．y＝4(1)x²

3．已知a≠0，b<0，一次函数是y＝ax＋b，二次函数是y＝ax²，则下列图像中，可以成立的是(    )

4．函数y＝－x²＋4x的增区间是(    )

A．[－2，＋∞)            B．[2，＋∞)           C．(－∞，－2]             D．(－∞，2]

5．二次函数y＝－x²＋bx＋c的图像的最高点为(－1，－3)，则b与c的值是 (    )

A．b＝2，c＝4 B．b＝2，c＝－4

C．b＝－2，c＝4 D．b＝－2，c＝－4

6．函数f(x)＝x²＋2x＋1，x∈[－2,2]，则函数 (    )

A．有最小值0，最大值9 B．有最小值2，最大值5

C．有最小值2，最大值9 D．有最小值1，最大值5

7．函数y＝－x²＋2x＋3(0≤x≤3)的值域为(    )

A．[0，4]              B．[3，4]          C．[0，3]      D．[2，4]

8．函数f(x)＝x²－4x＋5在区间[0，m]上的最大值为5，最小值为1，则实数m的取值范围是(   )

A．[2，＋∞)           B．(2，4]           C．[0，4]            D．[2，4]

9．函数y＝－x²＋2x＋1在区间(－3，a]上是增函数， 则a的取值范围是(   )

A．－3<a≤1 B．－3<a≤2

C．a≥－3 D．－3<a≤－1

10．不论m取何值，二次函数y＝x²＋(2－m)x＋m的图像总经过的点是________．

11. 抛物线y＝ax²＋bx＋c与x轴的交点为(－1，0)，(3，0)，其形状与抛物线y＝－2x²相同，则y＝ax²＋bx＋c的解析式为                             ．

12．已知函数f(x)＝4x²－kx－8在[2,10]上具有单调性，则实数k的取值范围是________．

13．如果一条抛物线的形状与y＝3(1)x²＋2的形状相同，且顶点为(4，－2)，则它的解析式为              ．

14. 已知二次函数f(x)满足f(x＋2)＝f(2－x)且f(x)＝0的两实根平方和为10，其图像过点(0，3)．求f(x)的解析式．

 

 

 

 

 

15. 某类产品按质量可分为10个档次，生产最低档次的产品，每件利润6元，如果产品每提高一个档次，则利润增加2元，用同样的工时，最低档次每天生产60件，提高一个档次将少生产4件产品，问生产第几档次的产品，所获利润最大？

 

 

 

 

 

16．二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x且f(0)＝1.

(1)求f(x)的解析式；

(2)在区间[－1，1]上，y＝f(x)的图像恒在y＝2x＋m的图像上方，试确定实数m的范围．